量子力学核心问题清单

多多思考。

一、 数学基础与算符理论

1. Dirac 记号：如何用 Bra-Ket 符号表示 Schrödinger 方程？
2. 算符性质：
   • 证明厄米算符（Hermitian Operator）的本征值为实数，且不同本征值的本征函数相互正交。
   • 什么是幺正算符（Unitary Operator）？它在表象变换中的作用是什么？
3. 对易关系与不确定度：
   • 如何从对易关系 $[\hat{A}, \hat{B}] = i\hat{C}$ 推导广义海森堡不确定关系？
   • 计算坐标与动量的对易关系 $[\hat{x}, \hat{p}]$ 及其物理意义。

4. 海森堡绘景（Heisenberg Picture）：

   • 写出算符随时间演化的方程（Heisenberg Evolution Equation）。
   • 比较薛定谔绘景与海森堡绘景的异同。

5. 能量-时间不确定关系：$\Delta E \Delta t \ge \hbar/2$ 中的 $\Delta t$ 与坐标不确定度 $\Delta x$ 有何本质区别？

6. 最小不确定波包：什么样的波函数能达到不确定关系的下限？

二、 基础势场与精确解

1. 一维谐振子：
   • 代数解法：利用升降算符 $\hat{a}$ 和 $\hat{a}^\dagger$ 推导能量量子化条件 $E_n = (n + 1/2)\hbar\omega$。
   • 计算谐振子基态的不确定度关系 $\Delta x \Delta p$。
2. 自由粒子：
   • 写出自由粒子的波函数，并讨论其归一化问题（$\delta$ 函数归一化）。
3. 势垒与双井势：
   • 双井势（Double-well Potential）：画出基态与第一激发态波函数的示意图，讨论能级分裂与隧道效应。
4. 守恒量与演化：
   • Ehrenfest 定理：证明算符期望值随时间的变化规律，并讨论其经典极限。
   • 概率流守恒：从 Schrödinger 方程出发证明连续性方程 $\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0$。

三、 微扰论与近似方法

1. 非简并微扰论：
   • 推导一阶能量修正和一阶波函数修正。
2. 简并微扰论：
   • 讨论简并微扰论处理时的主要困难是什么？如何通过解久期方程（Secular Equation）消除简并？
3. WKB 近似：
   • 写出 WKB 近似下波函数的形式。
   • 讨论在经典转折点（非经典区）附近 WKB 失效的原因及连接公式的思路。
4. 变分法与原子分子：
   • LCAO-MO：以 $H_2^+$ 为例，说明如何利用原子轨道线性叠加处理分子轨道。
   • 负氢离子 ($H^-$)：讨论其稳定性的变分处理思路。
   • 多电子原子：以 $\text{Ne}$ 原子为例，简述电子排布与全同粒子波函数的构造。

四、 全同粒子与量子动力学

1. 全同粒子（Identical Particles）：
   • 写出玻色子（Bosons）与费米子（Fermions）波函数的交换对称性要求。
   • 什么是泡利不相容原理？
2. 时间相关微扰论：
   • 如何处理受激辐射？简述其半经典处理方法。
   • 证明一阶跃迁概率与费米黄金定则（Fermi’s Golden Rule）。
3. Berry 相位（Berry Phase）：
   • 什么是绝热演化？
   • 推导 Berry 相位的表达式及其几何意义。

五、 角动量与自旋

1. Pauli 矩阵：
   • 写出 $\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z$ 矩阵。
   • 证明 Pauli 矩阵的对易关系与反对易关系。
2. 占有数表象（Occupation Number Representation）：
   • 简述产生算符与湮灭算符在多粒子态中的作用。

六、 散射理论

1. Lippmann-Schwinger 方程：
   • 如何从定态 Schrödinger 方程导出 Lippmann-Schwinger 方程？
2. 微分散射截面：
   • 定义微分散射截面 $\frac{d\sigma}{d\Omega}$，并推导其与散射振幅 $f(\theta)$ 的关系。
3. Born 近似：
   • 写出一阶 Born 近似下散射振幅的计算公式。
   • 讨论一阶 Born 近似的适用条件。
4. 光学定理