磁场中的原子

原子的磁矩

单电子原子的磁矩

1. 单电子原子的总磁矩（有效磁矩）:

   $$\begin{equation} \boldsymbol{\mu_j} = -g_j \frac{e}{2m} \boldsymbol{j} \end{equation}$$

2. 单电子原子总磁矩的大小:

   $$\begin{equation} \mu_j = g_j \sqrt{j(j + 1)} \mu_B \end{equation}$$

3. 单电子原子总磁矩 $ z $ 分量的大小:

   $$\begin{equation} \mu_{jz} = - g_j m_j \mu_B \end{equation}$$

4. 单电子原子总磁矩的 $ g $ 因子:

   $$\begin{equation} g_j = 1 + \frac{j(j + 1) - l(l + 1) + s(s + 1)}{2j(j + 1)} \end{equation}$$

多电子原子的磁矩

1. 多电子原子的总磁矩:

   $$\begin{equation} \boldsymbol{\mu_J} = -g_J \frac{e}{2m_e} \boldsymbol{\mathcal{J}} \end{equation}$$

2. 多电子原子总磁矩的大小:

   $$\begin{equation} \mu_J = g_J \sqrt{J(J + 1)} \mu_B \end{equation}$$

3. 多电子原子总磁矩 $ z $ 分量的大小:

   $$\begin{equation} \mu_{Jz} = - g_J M_J \mu_B \end{equation}$$

4. 多电子原子总磁矩的 $ g $ 因子:
   (1) $ \mathcal{LS} $ 耦合:

   $$\begin{equation} g_J = 1 + \frac{J(J + 1) - L(L + 1) + S(S + 1)}{2J(J + 1)} \end{equation}$$

   (2) $ jj $ 耦合:

   $$\begin{equation} g_J = g_{j1} \frac{J(J + 1) + j_1(j_1 + 1) - j_2(j_2 + 1)}{2J(J + 1)} + g_{j2} \frac{J(J + 1) + j_2(j_2 + 1) - j_1(j_1 + 1)}{2J(J + 1)} \end{equation}$$

磁场对原子的作用

Larmor 进动

1. 均匀外磁场中原子总磁矩的角动量定理:

   $$\begin{equation} \frac{\mathrm{d} \mathcal{J}}{\mathrm{d} t} = \mu_J \times B \end{equation}$$

2. 利用关系式改写为:

   $$\begin{equation} \frac{\mathrm{d} \mu_J}{\mathrm{d} t} = \gamma B \times \mu_J = \omega_L \times \mu_J \end{equation}$$

3. 旋磁比:

   $$\begin{equation} \gamma = g_J \frac{e}{2m_e} \end{equation}$$

4. Larmor 进动角频率:

   $$\begin{equation} \omega_L = \gamma B \end{equation}$$

6.2 磁场中原子的附加能量

6.2.2 磁场中原子的附加能量

1. Zeeman 能级:

   $$\begin{equation} \Delta E = -\mu_J \cdot B = -\mu_{Jz} B = M_J g_J \mu_B B \end{equation}$$

2. Zeeman 能级间隔:

   $$\begin{equation} \delta E = g_J \mu_B B = g_J \frac{e \hbar}{2 m_e} B = \hbar \omega_L \end{equation}$$

原子光谱的 Zeeman 效应

正常 Zeeman 效应

正常塞曼效应是指光谱线在磁场中分裂为三条谱线的现象，分裂间距相等。

适用于总自旋$S=0$情况，即单态能级。

1. π 光: $\Delta M_J = 0$

   $$\nu_\pi = \nu_0$$

2. σ 光: $\Delta M_J = \pm 1$

   $$\nu_\sigma = \nu_0 + \Delta \nu = \nu_0 \pm \frac{\mu_B B}h$$

正常塞曼效应中，$\Delta \nu=\dfrac{\mu_B B}{h}$为一个Lorenz单位。

反常 Zeeman 效应

Paschen-Back 效应

1. 强磁场下原子磁矩的附加能量：忽略 $\mathcal{LS}$ 耦合（此时是$S^2,S_z,L^2,L_z$守恒量） $$\begin{equation} \Delta E = -\mu_L \cdot B - \mu_S \cdot B = -\mu_{Lz} B - \mu_{Sz} B = M_L g_L \mu_B B + M_S g_S \mu_B B \end{equation}$$

磁共振

电子顺磁共振 (EPR)

1. $$\begin{equation} U=-\mu_s \cdot B = g_s m_s \mu_B B \end{equation}$$

   电子自旋磁矩与外磁场方向同向排列，能量低。

2. 自由电子自旋磁矩在外磁场中的 Zeeman 能级裂距:

   $$\begin{equation} \Delta E = -\mu_s \cdot B = -\mu_{sz} B = \pm \frac{1}{2} g_s \mu_B B \end{equation}$$

3. 电子顺磁共振:

   $$\begin{equation} \delta E = g_s \mu_B B = h \nu \end{equation}$$

4. 磁偶极跃迁的选择定则:

   $$\begin{equation} \Delta m_s = \pm 1 \end{equation}$$

5. 顺磁中心的顺磁共振:

   $$\begin{equation} \delta E = g_J \mu_B B = h \nu \end{equation}$$

核磁共振 (NMR)

1. 核磁共振:

   $$\begin{equation} \delta E = g_I \mu_N B = h \nu \end{equation}$$

2. 核磁子:

   $$\begin{equation} \mu_N = \frac{e \hbar}{2 m_p} = 3.152 \times 10^{-8} \text{eV/T} \end{equation}$$

3. 化学移位: